如果你在国内读书  在学习小波变换时,看教科书有种想死的感觉,在看看老外写的教程,天壤之别,为什么多少次课都搞不懂  看看老外的指南就明白了哪! 不要把事情变复杂,让人觉得你很牛逼,其实是傻逼。

我们先来看看频率的世界,

傅里叶变换能够将time domian 转化为freuqnecy domain

对于含有固定频率的信号(不管几个)

使用FFT可以看出频率的分布

注意 你只能看有哪几种频率

其他并不知道在什么时间  有什么频率

 

然后对于 不同时间内 有着不同频率的信号

这才会致命的,因为FFT只能看到频率存在

你却不知道何时会出现

那么对于 no staionary signal 这是致命的

因为大部分EEG都是非稳态信号

所以 FFT 给出的只是何种频率存在

你却不知道 在什么时间 存在什么频率

 

于是 前辈们一直在探索怎么解决这个问题

难道他们傻吗?在wavelet 出现之前

 

不  ,他们设计了 the short time FFT 简称 SFFT

SFFT 是干嘛的那?

 

“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程,每个小过程近似平稳,再傅里叶变换,就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

 

这些非稳态的信号,当你把他们分成非常非常小的信号,是不是非稳态 变成了稳态哪

基于这个理解,才有了上述的发明。

one cannot know what spectral components exist at what instances of times. What one can know are the time intervals in which certain band of frequencies exist, which is a resolution problem.

 

这里意味着 当你用窗函数去截取信号,然后做SFFT,你可以会遗漏频率信息,因为信号长度太短了

然后既然想知道time-frequnecy  又必须使用足够短的signal做FFT

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否则又回去FFT了

可以如下理解:

截取信号越短—》频率越容易泄露

截取信号越短—》其时间频率信号越精确

 

你看到没 SFFT仍然是相互矛盾的

所以wavelet小波的出现 还是有前提的

 

我们在处理信号  总是希望低频信号 长度都长,高频信号长度不需要很长

For example, the following shows a signal of this type. It has a relatively low frequency component throughout the entire signal and relatively high frequency components for a short duration somewhere around the middle.

 

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那么你可能会想到,让窗口大小变起来,多做几次STFT不就可以了吗?!
没错,小波变换就有着这样的思路。
但事实上小波并不是这么做的
至于为什么不采用可变窗的STFT呢,我认为是因为这样做冗余会太严重,
STFT做不到正交化,这也是它的一大缺陷。

于是小波变换的出发点和STFT还是不同的。

STFT是给信号加窗,分段做FFT
而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基
这样不仅能够获取频率,还可以定位到时间了~
对于傅里叶变换 我们更通俗的来讲
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原信号和基信号 不断相乘, 基信号不断的伸缩变换
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图上所示 当基信号和原信号想成得到一个极大值,在频谱上显示 就是频率成分

 

这个基函数会伸缩、会平移(其实是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少
小波做的改变就在于,将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。
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这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~
从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩平移量 τ控制小波函数的平移尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间
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当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。

而当我们在每个尺度下都平移着和信号乘过一遍后,我们就知道信号在每个位置都包含哪些频率成分

看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!

做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱

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